Родом из небольшого дальневосточного села Спасское. Футболом, впрочем, начал заниматься уже в Москве – сперва в секции общеобразовательной школы, затем в «Соколе», после чего получил предложение пройти просмотр в ЦСКА. Армейцем, однако, Евгеньев не стал, зато стал спартаковцем – туда просмотр он прошёл успешно.
После того, как на его позицию взяли капитана сборной России из «Чертаново» и Рома несколько раз подряд остался в запасе, его семьёй было принято решение об уходе из спартаковской академии. В итоге Евгеньев оказался в «Динамо» - в пику «Спартаку» был выбран клуб, где красно-белые цвета исторически нелюбимы более всего.
Однако твёрдым игроком основы у Ромы в Академии «Динамо» имени Льва Яшина стать так и не удалось. Даже на историческом турнире Nike Cup он появлялся эпизодически, преимущественно выходя на замены.
Ситуация изменилась в момент перехода на уровень молодёжной команды. В Юношеской лиге УЕФА Евгеньев – незаменимый игрок основы. В «Динамо-2» - после того, как эту команду зимой принял Дмитрий Хохлов – тоже. Логично, что и в Молодёжном Первенстве Рома быстро завоёвывает себе место в составе.
Несмотря на то, что впервые с основой этот фактурный центральный защитник съездил на сборы ещё с Юрием Калитвинцевым, дебют Евгеньева в главной команде состоялся спустя почти полтора года от этого момента – Владимир Рыков получил травму на старте встречи с самарскими «Крыльями», Хольмен ту игру пропускал, и на поле пришлось выходить именно Роме, который накануне ещё отбегал и за дубль. Сыграл, впрочем, он настолько спокойно и уверенно, что в дальнейшем Дмитрий Хохлов спокойно полагался на молодого защитника, который своей игрой заслужил всё большую любовь в среде динамовских болельщиков.
Однако со сменой тренерского штаба Роман на какое-то время выпал из состава. Вернулся в него в самой концовке чемпионата 2019/20, отыграв в матчах с "Краснодаром" и "Оренбургом" и сделав заявку на роль основного защитника на следующий сезон.
